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+date = "2021-07-26T21:22:00+08:00"
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+draft = false
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+tags = []
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+title = "2021 牛客多校第 4 场"
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+authors = ["xry111"]
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+# I. Inverse Pair
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+## 题意
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+输入一个数组，保证里面是一个排列，选择一些数组元素给他加 $1$，
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+最小化操作后的逆序对数。
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+## 做法
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+因为是一个排列，而且只能加 $1$，增加某个数组元素时，
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+一定不会与它后面的元素形成新的逆序对，
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+只考虑与它前面元素比较时会减少逆序对就行了。
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+
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+如果 $a\_j = a\_i + 1$ 且 $j < i$，那么我们给 $a\_i$ 加 $1$
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+就能减少一对逆序对，但是如果同时也给 $a\_j$ 加 $1$ 就减小不了。
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+随便画一下会发现所有数可以连成一个二分图，
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+可以将每个联通分量中 (除了没连边的) 所有黑点或者白点加 $1$，
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+即可减少相应数目的逆序对。求一下原来的逆序对数然后搞一下就行了。
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+# G. Product
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+## 题意
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+给定 $n, k, D$，求
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+$$\\sum_{a\_1 + a\_2 + \\cdots a\_n = D, a\_i \geq 0}
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+\\frac{D!}{\\prod (a\_i + k)!}$$
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+## 做法
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+这个式子就是
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+$$\\sum\_{a\_1 + a\_2 + \\cdots a\_n = D} \\frac{D!}{\\prod a\_i !} =
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+\\sum\_{\\{a\_i\\}} \\binom{D}{a\_1, \cdots, a\_n}$$
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+
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+改了一下，而这个改之前的式子众所周知就是 $n^D$。
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+我们考虑怎么才能凑成这种样子。令 $b\_i = a\_i + k$，就成了
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+
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+$$\\frac{D!}{(D+nk)!}
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+\\sum_{b\_1 + \\cdots b\_n = D + nk, b\_i \geq k}
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+\\binom{D+nk}{b\_1, \cdots, b\_n}$$
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+
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+前面那个东西可以最后再算，
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+后面和式如果没有那个<del>讨厌的</del> $b\_i \geq k$ 就是 $n^{D+nk}$，
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+但是有这个条件以后就得把不满足它的容斥掉。
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+设有 $m$ 个不满足条件的 $b\_i$，它们的和是 $\\Delta$，对应的容斥项是
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+
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+$$(-1)^m \\binom{n}{m}
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+\\sum_{b\_1 + \cdots + b\_{n - m} = D + nk - \\Delta,
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+\\Delta = \\sum\_{j=1}^m c\_j}
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+\\binom{D + nk}{b\_1, \cdots, b\_{n - m}, c\_1, \cdots, c\_m}$$
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+
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+把 $b$ 和 $c$ 先分开，变成
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+
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+$$\\sum\_\\Delta \\binom{D + nk}{\\Delta}
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+\\sum_{c\_i < k} \\binom{\Delta}{c\_1, \cdots, c\_m}
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+\\sum_{\\{b\_i\\}} \\binom{D + nk - \\Delta}{b\_1, \cdots, b\_{n - m}}$$
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+
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+其中第一项就是个二项式系数 (但是由于出题人故意毒瘤人，不能预处理阶乘，
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+需要一边求和一边递推)；第三项就是 $(n - m)^{D + nk - \\Delta}$；
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+至于第二项就是将 $\\Delta$ 拆分成小于 $k$ 的 $m$
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+个未必递增的非负整数之和的方案数 $f(m, \\Delta)$，这个东西可以递推：
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+
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+$$f(i, j) = \\sum_{x < k} \\binom{j}{x} f(i - 1, j - x)$$
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+
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+然后就完了，答案是
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+
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+$$\\frac{D!}{(D+nk)!} \\sum_{m=0}^{n - 1}
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+(-1)^m \\binom{n}{m}
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+\\sum\_\\Delta \\binom{D + nk}{\\Delta} f(m, \\Delta)
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+(n - m)^{D + nk - \\Delta}$$
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+
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+全场签完到就自闭这题，最后一分钟才过，剩下啥都没干。教训：
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+* 推公式不能凭感觉，要用比较严格的数学符号，不然能写出差了 $114514$
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+ 项的公式。
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+* 公式不对千万不要拿着暴力结果去猜，不然能猜出 $1919810$ 个错误公式。
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Xi Ruoyao