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@@ -84,6 +84,30 @@ $1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5$，$2 \leq a_i \leq 10^7$。
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太难了啊，不会啊 QAQ。
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+问了群里的 dalao 们，他们说了一个结论：如果 $a_i$ 是某个素数的幂，则无解，
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+否则一定能找到 $u$ 和 $v$ 满足 $uv = a_i$，且 $u \perp v$，
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+$(u, v)$ 就是合法的解。简要证明如下：
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+
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+首先对于素数的幂 $p^j$，无论怎么取 $d_1$ 和 $d_2$，
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+既然要取一个因子，结果仍然是 $p$ 的幂，即 $p^{k_1}$ 和 $p^{k_2}$。
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+由于题目要求 $d_1 > 1$，$d_2 > 1$，有 $k_1 > 0$，$k_2 > 0$。
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+故 $gcd(d_1, d_2) = gcd(p^{k_1}, p^{k_2}) = p^{\min(k_1, k_2)} \geq p^1 = p > 1$。因此无解。
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+然后证明如果 $uv = a_i$，且 $u \perp v$，则 $(u, v)$ 对于 $a_i$ 是合法的解。
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+我们有 $(u + v) \mod u = 0 + v \mod u = v \mod u \neq 0$，
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+$(u + v) \mod v = u \mod v + 0 = u \mod v \neq 0$。
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+根据中国剩余定理，因为 $u \perp v$，可得 $(u + v) \mod (uv) =
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+(u + v) \mod a_i \neq 0$。这就满足了题目的要求。
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+最后对于所有不是素数幂的 $a_i$ 构造出 $u$ 和 $v$ 即可，最简单的方法是，
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+取出 $a_i$ 的最小素因子 $p$，它在 $a_i$ 中出现 $k$ 次，就使得
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+$u = p^k$，$v = a_i / u$ 即可满足要求。
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+可以用筛法预处理最小素因子，这样做时间复杂度就是
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+$\mathcal{O}(\max\\{a_i\\} \log \log \max\\{a_i\\} + \sum \log a_i)$。
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+[代码](https://codeforces.com/contest/1366/submission/83574965)
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## [E. Two Arrays](https://codeforces.com/contest/1366/problem/E)
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### 问题重述
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@@ -99,7 +123,7 @@ $|a|, |b| \leq 2 \cdot 10^5$，保证 $b$ 严格单调上升。
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可以选区间 $[l_i, r_i)$ 中的任意位置。
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其中 $l_i$ 是 $a$ 中最后一个小于 $b_i$ 的数的位置，
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$r_i$ 是 $a$ 中最后一个等于 $b_i$ 的数的位置。
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-由于 $b_i$ 的单调性，这些区间不相交。
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+由于 $b_i$ 的单调性，这些区间两两不相交。
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所以直接用乘法原理，得到答案就是
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$$\prod_{i} (r_i - l_i)$$
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Xℹ Ruoyao