Add the solution of cf536 div2 problem F

content/post/cf536-div2-f.md

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+date = "2019-02-02T01:15:00+08:00"
+draft = false
+tags = []
+title = "Problem F, CF Round #536 (Div. 2)"
+summary = "Solution of [Lunar New Year and a Recursive Sequence](https://codeforces.com/contest/1106/problem/F)"
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+
+# 问题描述
+
+[原题目链接](https://codeforces.com/contest/1106/problem/F)。
+
+已知 $p = 998244353$，数列 $\\{f\_i\\}$ 满足
+
+$$f\_i = \\left( \\prod\_{j=1}^k f\_{i-j}^{b\_j} \\right) \\mod p$$
+
+且 $f\_1 = f\_2 = \\cdots = f\_{k-1} = 1$，$f\_n = m$，
+给定一组正的 $m$、$k$、$b\_1 \\cdots b\_k$，求 $f\_k$ 的任意一个可能值，
+或报告没有可能的值。
+
+# 解决方法
+
+注意到 $p$ 是一个奇质数，根据原根定理知道存在 $\\omega$ ，使得
+$\\omega^0, \cdots, \\omega^{p-2}$ 两两不同。[询问 WolframAlpha][1]
+知道 $\\omega = 3$，以此可以定义 $\\{0, \cdots, p-2\\}$ 与
+$\\{1, \cdots, p-1\\}$ 之间的双射。正映射就是我们很熟悉的
+
+$$f(x) = 3^x \\mod p$$
+
+逆映射就是离散对数：
+
+$$f^{-1}(y) = Ind\_3 (y)$$
+
+[1]: https://www.wolframalpha.com/input/?i=primitive+root+of+998244353
+
+众所周知，可以用[大步小步法][BSGS]在 $O(\\sqrt{p})$ 的时间内求出离散对数。
+
+下面令 $g\_i = Ind\_3 (f\_i)$，那么递归式就等价于
+
+$$g\_i = \\left( \\sum\_{j=1}^k b\_j g\_{i-j} \\right) \\mod (p-1)$$
+
+在模 $p-1$ 意义下这是个线性递推数列，可以写成矩阵形式：
+
+$$\\gamma\_n = \\begin{bmatrix} g\_n \\\\ g\_{n-1} \\\\ \\vdots \\\\ g\_{n-k+2} \\\\ g\_{n-k+1} \\end{bmatrix}
+= \\begin{bmatrix} b\_1 & b\_2 & \cdots & b\_{k-1} & b\_k \\\\ 
+  1 & & & & \\\\ 
+  & 1 & & & \\\\ 
+  & & \ddots & & \\\\ 
+  & & & 1 & \\\\ 
+  \\end{bmatrix}
+  \\begin{bmatrix} g\_{n-1} \\\\ g\_{n-2} \\\\ \\vdots \\\\ g\_{n-k+1} \\\\ g\_{n-k} \\end{bmatrix} $$
+
+所以
+
+$$\\gamma\_n = A^{n-k} \\gamma\_k = B \\gamma\_k$$
+
+这里 $B = A^{n-k}$ 可以用矩阵快速幂求出。根据题目条件，
+
+$$\\gamma\_k = [g\_k, \cdots, g\_1]^T = [g\_k, 0, \cdots, 0]^T$$
+
+可以看出 $g\_n = B\_{11} g\_k$。其中 $g\_n = Ind\_3 (m)$
+可用大步小步法求出，$B$ 左上角的元素 $B\_{11}$ 可用快速幂求出，
+下面就要求 $g\_k$。这里的问题在于，同余方程
+
+$$g\_n \equiv B\_{11} g\_k \\quad~~ (mod \\quad p-1)$$
+
+中的模 $p-1 = 2^{23} \cdot 7 \cdot 17$ 是一个合数，所以不能用逆元。
+我们可以用中国剩余定理把它拆成三个同余方程组成的方程组：
+
+$$g\_n \equiv B\_{11} g\_k \\quad~~ (mod \\quad 7)$$
+$$g\_n \equiv B\_{11} g\_k \\quad~~ (mod \\quad 17)$$
+$$g\_n \equiv B\_{11} g\_k \\quad~~ (mod \\quad 2^{23})$$
+
+[中国剩余定理][CRT]告诉我们原同余方程的解和拆分得到同余方程组的解一一对应，
+所以只要解拆分出来的这三个方程即可。对于前两个方程，特判 $B\_{11}$
+余 $0$ 的情况（其中如果 $g\_n$ 也余 $0$，则 $g\_k$ 可以余任何数，
+否则无解），然后用逆元即可。
+
+对于第三个方程，由于 $B\_{11}$ 可能与 $2^{23}$ 不互质，可能不存在逆元。
+首先仍然特判 $B\_{11}$ 余 $0$ 的情况，然后对 $g\_n$ 和 $B\_{11}$ 同时除以
+$gcd(B\_{11}, 2^{23})$。如果除不尽，说明无解。否则，新得到的方程中
+$B\_{11} / gcd(B\_{11}, 2^{23})$ 一定与 $2^{23}$ 互质，就能用逆元了。
+
+如果这三个方程中有一个或多个无解，则原同余方程一定无解。如果它们都有解，
+就能用中国剩余定理得到原方程的一个解，即 $g\_k$ 的一个可能值。
+然后直接快速幂就能得到 $f\_k = 3^{g\_k} \mod p$。
+
+[BSGS]: https://en.wikipedia.org/wiki/Baby-step_giant-step
+[CRT]: https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
+
+[参考代码](https://codeforces.com/contest/1106/submission/49271312)。